工字钢为什么与众不同？

在生活当中，不管是建筑，桥梁还是机械设计，经常会遇到工字钢的使用场景。

那么为什么大家如此偏爱这种构型，则是这篇文章想要探讨的话题。

讨论工字钢，我们先从一根铁棍开始讲起。
当我们给铁棍的任意一端施加一个平行于截面的力时，棍子便会弯曲。

如果这时候我们把棍子从中间拦腰截断，会发现在棍子内部存在一个力和一个力矩抵消掉外力带来的作用。

这里的力就是材料内部的剪切力 (shear force)， 而力矩则叫弯曲力矩 (bending moment)。

对于一根铁棍来说，只要力够大，总有一刻能被掰弯。
当它被掰弯时，事情就变得有意思起来了。
上图是一根弯曲的铁棍。

显然，它上方的材料被拉长了，下方的材料被压短了。仔细想想，在拉长和压短中间，肯定能找出一条既没变长也没变短的部分。

我们就说中间这条绿色的线的长度保持不变，并给它取个名字，叫中性轴。

从我们A-level学过的物理可知，材料的抗形变能力和杨氏模量有很大关系。


如果你不知道什么是杨氏模量，它表示在物体上施加一个力所能带来的形变的大小。

例如金属需要很大的力拉扯才能导致它形变，所以它的杨氏模量大；而口香糖随便一拉的就拉丝了，所以它的杨氏模量小。

在这根弯曲的铁棍中，我们可以计算一下它内部的应力和应变。

假设这跟棍子刚好弯曲成一段圆弧，那么中性轴距离圆心为R，其中一层材料与中性轴的距离为y。

我们可以很容易求出中性轴的长度AB和上方材料弯曲后的长度CD。

由于在没有弯曲的时候，铁棍的长度是处处相等的，CD的原长也就是AB的长度。我们可以利用这点写出铁棍受到的应变。

通过将前式的代入可以得到


最后根据我们最开始杨氏模量的公式，我们可以得到铁棍的弯曲应力 (bending stress)。


我们知道，这就是造成铁棍弯曲的力。

说了那么多铁棍，这跟本文的主题工字钢有什么关系呢？

人们发现，在建造房屋和桥梁的过程中，承重的铁棍越坚硬，越不容易弯折，房子就能造的越坚固。

所以从前面讲到材料内部的力和力矩来看，相同作用力下弯曲力矩越小的构型和材料，越能被广泛的使用在机械构造中。

好吧，我们再回到刚刚那根铁棍。

(颜色越深，受力越大)

从上方棍子的横截面我们可以看出，截面上的每一点受到的力都不太一样。


中性轴上方的力朝向截面，下方的力从截面出来，从而产生了一个逆时针向上的力矩。

我们可以通过积分将每一小块面积上受到的力造成的整体效果表现出来。


我们刚刚求出的弯曲应力就在这里派上了用场。我们将弯曲应力代入：


观察一下，左边提取出来的东西都很眼熟，而右边的积分则是本篇文章又一个重点。


如果你看过我前面关于飞盘的文章，你应该对转动惯量(Moment of interia)有些许的了解。


芭蕾舞演员张开手臂，旋转速度变慢了；在将手臂收回躯体，旋转速度有变快了。


我们知道质量是衡量惯性大小的物理量，也就是衡量物体对抗其直线加速度的能力。转动惯量相对应的，衡量的是物体对抗其角加速度的能力。

而上文这坨积分衡量的，则是物体对抗弯曲的能力。

它在英文上有一个跟转动惯量极其类似的名字：Area moment of Inertia (截面惯性矩)。

这其中的Area则是中文翻译中截面的对应。


简单观察一下式子可以发现，y越大，也就是截面上某一点与中性轴的距离越大，对截面惯性矩的贡献也就越大。
也就是物体越能对抗弯曲。

于是你就知道工字钢为什么要设计这样了。
如下图，由于中性轴被放在了工的中间，大部分截面上面积分布在上下翼缘，从而远离了中性轴，所以截面惯性矩很大。

在这里我们可以简单计算一下它的数值。

但首先，我们需要了解一个计算过程中很有用的定理：平行轴定理 (parallel axis theorem)。


介绍这个式子是因为如果依旧使用积分来求工字钢截面的惯性矩，会显得过于麻烦。

观察后可以发现，以轴上方的翼缘为例，如果仍使用绿色的中性轴作为基准线，我们发现将它向下平移y距离后的全等长方形是我们会算的。

事实上，这个定理告诉我们，只要先求出这个在轴上的长方形的惯性矩，再加上它面积乘平移距离的平方，就能得到上方翼缘的惯性矩。

什么？你问我为什么？

不好意思，我们是学工程的。

其实也就是从原先的积分中做一些变换推出来的，碍于篇幅这里就不细讲了。


回到计算，我们先给截面标记一些长度。


然后，我们拿出databook查到长方形的惯性矩。

由于中间的腹板直接关于轴对称，这就是它的惯性矩。

接下来使用平行轴定理，我们可以得到上翼缘的惯性矩。

因为上下翼缘关于中性轴对称，我们只需要将上面得到的结果乘二，再加上腹板的惯性矩，就能得到最终的答案。

最后，让我们回到最开始的这个式子。

可以发现，物体对于弯曲的抗性完全取决于分子上两个物理量乘积的大小。前者代表材料对抗性的影响，后者代表结构对抗性的影响。这也跟我们先前预测的原因相同。

聪明的工程师们给这两个物理量的乘积取了个高级的名字：


弯曲刚度 (flexural rigidity)。


而工字钢，得益于其优秀的结构强度和材料使用，最终成为了工程学应用中不可或缺的搭建材料。